框架理論及其在數(shù)據(jù)丟失問題中的應(yīng)用

　　框架理論是泛函分析、非線性逼近理論、算子理論以及信號(hào)理論相結(jié)合的產(chǎn) 物，它是繼小波理論之后逐步發(fā)展起來的一個(gè)新的研究方向?？蚣芾碚摰陌l(fā)展極 大地促進(jìn)了純粹數(shù)學(xué)與工程應(yīng)用的結(jié)合發(fā)展，具有十分廣闊的應(yīng)用前景。如今， 框架理論已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于圖像處理、信號(hào)處理、采樣理論、數(shù)據(jù)壓縮、系統(tǒng)建 模、編碼和通信等方面。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，人們更加重 視信息資源的開發(fā)和利用。盡管框架理論已經(jīng)得到了較好的發(fā)展，但是它作為一 個(gè)新興的研究方向仍有許多問題需要進(jìn)一步研究。本學(xué)位論文對框架的基本理論 展開研究，并解決框架在信號(hào)傳輸過程中有數(shù)據(jù)丟失時(shí)的重構(gòu)問題，主要研究內(nèi) 容如下： 1. 研究基于矩陣的框架設(shè)計(jì)問題。利用矩陣的奇異值分解得到構(gòu)造特殊框架 的方法，同時(shí)，利用酉矩陣得到一些新的緊框架，解決了求解框架算子逆的復(fù)雜 性問題。該方法操作簡單，從而擴(kuò)大了框架在實(shí)際問題中的應(yīng)用。 2. 研究融合框架的一些等式和不等式問題。利用有界線性算子的理論和方法， 建立了 Hilbert 空間中的融合框架的等式和不等式。此結(jié)論有助于解決融合框架在 并行處理和高性能物理實(shí)驗(yàn)中的相關(guān)問題。 3. 由于 g- 框架是框架的廣義形式，我們研究 g- 框架的相關(guān)結(jié)論。首先通過 引入 g- 框架算子相應(yīng)的有界線性算子研究 g- 框架的穩(wěn)定性。進(jìn)一步，通過引入 最壞情況誤差，研究對偶 g- 框架在有數(shù)據(jù)丟失情況下的最優(yōu)對偶 g- 框架，并討 論規(guī)范對偶 g- 框架是唯一最優(yōu)對偶 g- 框架的充分必要條件。最后，利用已知 g- 框架和有界算子給出逼近對偶 g- 框架關(guān)于局部框架的性質(zhì)，并證明了兩個(gè) g- 框 架是彼此接近時(shí)，它們的逼近對偶 g- 框架也是彼此接近的。 4. 研究框架理論在信號(hào)傳輸過程中有丟失時(shí)的重構(gòu)問題。基于最優(yōu)直接法 （MOD），提出一種新的搜索最優(yōu)對偶框架的方法。在信號(hào)重構(gòu)中該方法能夠?qū)ふ?到最優(yōu)對偶框架，解決對于特殊輸入信號(hào)不是最優(yōu)的問題。同時(shí)，該方法搜索到 的最優(yōu)對偶框架能夠減小重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的誤差，從而在一定程度上解決了 信號(hào)傳輸過程中的重構(gòu)問題。數(shù)值實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了新的方法的有效性。

　　郭倩平，河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)，講師。電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩博連讀。2017年獲得電子科技大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位，并獲得四川省優(yōu)秀畢業(yè)生和校優(yōu)秀畢業(yè)生?，F(xiàn)主要從事框架理論及其在信號(hào)傳輸中有數(shù)據(jù)丟失的信號(hào)重構(gòu)問題研究。本人已參與完成國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目1項(xiàng)、青年基金3項(xiàng)和省部級項(xiàng)目多項(xiàng)，在重要學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表學(xué)術(shù)論文 8 篇，其中SCI檢索5篇。