中算家的計數論

目錄
序（李文林） i
前言 iii
第1章 導論 1
1.1 中國傳統(tǒng)數學：概念、分期和特征 2
1.1.1 作為數學門類專名的歷史更迭 2
1.1.2 中算的歷史分期 5
1.1.3 傳統(tǒng)數學的機械化特征：吳文俊先生的論述 7
1.2 離散問題：早期的淵源和現代的復興 11
1.2.1 中英文“計數”的詞源及現代意義 11
1.2.2 組合計數的早期發(fā)展 14
1.2.3 離散數學與組合計數理論 19
1.3 中國數學史中的“計數”22
1.3.1 從語義學的觀點認識“計數” 22
1.3.2 從中算家的觀點認識“計數” 23
1.3.3 從組合論的觀點認識“計數” 23
1.3.4 從思想史的觀點認識“計數” 24
1.3.5 中算計數論經歷了五個歷史時期 25
前編
第2章 洛書與周易：古代計數思想的起源 29
2.1 龜背上的洛書：世界上*古老的三階幻方 30
2.1.1 有關河圖洛書的歷史記載 31
2.1.2 洛書即洪范九疇說、洛書即九宮說 33
2.1.3 河圖即天地生成數說、河圖即圖讖說 35
2.1.4 關于河洛起源討論的小結 36
2.2 周易卦序：排列與對稱的數學 39
2.2.1 《周易》簡介 39
2.2.2 易卦的數學解析與邵雍先天圖 41
2.2.3 數學視角中易經的幾個基本概念 42
2.2.4 二進卦值菱圖的構成和性質 45
2.2.5 二進卦值菱圖中周易卦序的對稱結構 46
2.2.6 易卦卦序結構的擴展研究 48
2.2.7 結語 49
2.3 帛書周易卦序的數學建構 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的數學建構 50
2.3.2 帛書周易方陣的數學結構分析 51
2.3.3 帛書周易六十四卦卦位及下、上卦值構造表 53
2.3.4 結語 54
2.4 行道吉兇表的構成 54
2.4.1 “行道吉兇”包括占卜表和吉兇判據 55
2.4.2 將“行道吉兇”表數字化 56
2.4.3 對“行道吉兇”表構造的分析 57
2.4.4 吉兇統(tǒng)計的結果 58
2.5 對周易揲法與四柱預測的數學解析 59
2.5.1 周易揲法與分揲定理 59
2.5.2 宋代費袞對“鴿籠原理”的應用 63
第3章 律歷與博局：古代計數方法的應用 66
3.1 戰(zhàn)國簡天象玄戈篇：世界上*古老的四階拉丁方 67
3.1.1 解讀玄戈篇：構成一個占星表 69
3.1.2 討論玄戈占星表結構的五個問題 71
3.1.3 玄戈占星表的標準形式：四階拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四階拉丁方”修正玄戈篇原簡的缺陷 76
3.1.5 結語 77
3.2 干支紀日：世界上絕無僅有的循環(huán)紀日歷法 77
3.2.1 天干地支循環(huán)計數法的起源與干支序數 78
3.2.2 天干地支的排列、意義和性質 80
3.2.3 干支的同余性質在考釋歷簡年代中的應用 82
3.2.4 從干支的周期性到“年朔序”84
附記：關于“干支歷”與“干支紀日的歷法”的區(qū)別的說明 86
3.3 黃鐘大呂：上古音樂中應用的計數方法 86
3.3.1 公元前三分損益法的演進：求十二律的三種途徑 87
3.3.2 十二律的精確算法和通項公式 90
3.3.3 放馬灘秦簡律書與十二律大數計算公式 92
3.3.4 黃鐘大數與十二律大數：京房的沿襲 93
3.4 漢代的博局占戲：從干支計數到位置設計 95
3.4.1 西漢木牘記載的博局占圖 95
3.4.2 博局占圖的數學分析和該圖的來源考釋 97
3.4.3 標準博局占圖的復原 98
3.4.4 博局圖與漢代銅鏡中的“TLV”紋飾 100
3.4.5 博局游戲：來自《西京雜記》的證據 100
3.4.6 結語 102
3.5 中國的Nim——從古代的游戲到現代的數學 103
3.5.1 西方的Nim就是中國古代的“抓三堆”游戲 103
3.5.2 游戲Nim變成了現代數學名詞 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制勝方案，Nim三元系與斯坦納三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的計算機向你挑戰(zhàn) 109
第4章 管墨荀諸子書與戰(zhàn)國秦竹簡中的計數 110
4.1 《管子》《荀子》《韓非子》中的“計數” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“計數”111
4.1.2 荀子、韓非子論“計數”114
4.2 相關的專題：《墨經》中的算術和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家與《墨經》簡介 116
4.2.2《墨經》中的算術和幾何知識 117
4.2.3 《墨經》中的集合與區(qū)間概念 120
4.2.4 《墨經》有關無窮和極限的概念 122
結語 124
4.3 清華大學藏戰(zhàn)國竹簡《算表》125
4.3.1 《清華大學藏戰(zhàn)國竹簡（肆）》算表的發(fā)現 125
4.3.2 清華戰(zhàn)國竹簡算表的構造、解讀和應用 126
4.3.3 清華簡算表在數學史上的意義 127
4.3.4 全面分析和正確解讀簡牘數據表 128
4.4 北京大學藏秦簡《陳起論數》計數內容分析 129
4.4.1 北大秦簡《陳起論數》的釋文解讀 129
4.4.2《陳起論數》現代漢語譯文 133
4.4.3 對北大秦簡《陳起論數》的分析 134
上編
第5章 《九章算術》與劉徽注中的比例、數列和體積 141
5.1 《九章》與劉注中的“率”和數列問題 142
5.1.1 劉徽是中國古代偉大的數學家 143
5.1.2 《九章算術》劉徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解決等差、等比、調和數列6題 149
5.1.4 商功章：芻甍、芻童體屬于擬柱體 152
5.1.5 均輸章：以連比例率解復雜條件的數列4題 155
5.2 劉徽應用比例研究體積關系獲得重要定理 159
5.2.1 張衡、劉徽探索球體積的算法 160
5.2.2 劉徽用比例表示的體積定理 163
5.2.3 劉徽在開立圓術注中提出了“牟合方蓋” 164
5.3 拓展的研究：劉徽算法與劉徽猜想 165
5.3.1 劉徽算法的推廣：用積分表示 166
5.3.2 “以盒蓋為方率”求球體積的劉徽猜想 167
第6章 漢唐算經中的算術和計數舉隅 172
6.1 《周髀算經》：漢人視野中天地的算術模型 173
6.1.1 數學思想史上兩篇重要的對話 174
6.1.2 運用比例、分數和等差數列進行天文計算 176
6.1.3 應用測量和比例計算建立的宇宙模型 179
6.2 《孫子算經》的計數內容 182
6.2.1 數學思想史中的杰作：孫子對算術的評價 182
6.2.2 度量衡單位、籌算計數法和等差、等比數列 183
6.2.3 物不知數問題與各色計數問題 186
6.3 《張邱建算經》中的整數論與計數 189
6.3.1 分數乘除法和*大公約數、*小公倍數 190
6.3.2 等差、等比數列問題 192
6.3.3 不定方程：百雞問題 196
6.4 《數術記遺》中的珠算和計數工具 197
6.4.1 大數記法和循環(huán)計數理論 199
6.4.2 積算、太一算、兩儀算 200
6.4.3 三才算、五行算、運籌算 202
6.4.4 珠算和計數 204
第7章 祖沖之和祖暅：精密計算的先驅 207
7.1 祖沖之生平與成就 208
7.1.1 中古的數學天才 208
7.1.2 人類早期數學文明的標志：圓周率 209
7.1.3 祖沖之的科學貢獻永載史冊 213
7.2 祖沖之計算圓周率的方法探析 214
7.2.1 祖沖之求圓周率方法研究：應用劉徽割圓術 215
7.2.2 華羅庚對割圓術求圓周率的現代表述 217
7.2.3 擴展的研究：求圓周率其他可能的途徑 218
7.3 《大明歷》采用391年置144閏的新閏周 220
7.3.1 拓展的研究：應用算術方法分析農歷和《大明歷》 221
7.3.2 閏周的概念與相關連分數和漸近分數 223
7.3.3 “諧月”概念的提出 225
7.4 祖暅繼承劉徽從合蓋體積獲得球體積公式 228
7.4.1 祖暅原理的應用和球體積公式導出 228
7.4.2 擴展的討論：阿基米德球體積公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 劉徽與祖暅的歷史貢獻：一個引起討論的問題 233
中編
第8章 沈括楊輝秦九韶：杰出的計數成果 239
8.1 沈括《夢溪筆談》中計數成就探析 240
8.1.1 沈括是科學史上的偉人 241
8.1.2 沈括“隙積術”首開中算級數論 243
8.1.3 《夢溪筆談》棋局都數 245
8.1.4 “六十甲子納音” 247
8.2 楊輝：縱橫圖與垛積術 253
8.2.1 楊輝和他的數學著作 253
8.2.2 《續(xù)古摘奇算法》是數學史上的奇書 255
8.2.3 賈憲三角形 260
8.2.4 垛積術與數列問題 263
8.3 秦九韶：“道”的思想與兩項算法的巔峰之作 267
8.3.1 秦九韶與《數書九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍總數術：仿周易揲法的數學杰作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程數值解的秦九韶程序 276
第9章 朱世杰《四元玉鑒》的垛積招差術 280
9.1 《四元玉鑒》垛積招差術（上） 280
9.1.1 朱世杰的垛積招差術是組合計數的開山之作 281
9.1.2 《四元玉鑒》垛積招差術綜述 283
9.1.3 茭草形段7題 286
9.2 《四元玉鑒》垛積招差術（下） 288
9.2.1 箭積交參7題 288
9.2.2 如象招數5題 291
9.2.3 果垛疊藏20題 297
9.3 拓展的研究：朱世杰-范德蒙公式的由來和發(fā)展 300
9.3.1 尋找“朱世杰-范德蒙公式”300
9.3.2 錢寶琮先生闡發(fā)朱世杰垛積術成果的歷史貢獻 301
9.3.3 Vandermonde公式的組合意義 303
9.3.4 徐利治先生介紹朱-范公式的現代發(fā)展 304
第10章 王文素的計數成就與珠算的發(fā)展 306
10.1 《算學寶鑒》中的珠算與計數問題 307
10.1.1 王文素和他的著作《算學寶鑒》 307
10.1.2 珠算乘法的簡算法 310
10.1.3 數列、垛積和輪流均數問題 313
10.2 《算學寶鑒》所載幻圖和“王文素問題”317
10.2.1 王文素構造的五種幻圖 317
10.2.2 王文素問題之一——“三同六變” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素問題”三類子問題 322
10.2.4“王文素問題”的歷史價值 326
10.3 相關的進展：珠算申報世界非物質文化遺產的過程 327
10.3.1 珠算在我國文化史、數學史中的重要地位 327
10.3.2 吳文俊先生關心珠算事業(yè)的發(fā)展