有限群的特征標理論

目錄
前言
符號和術(shù)語
第1章 表示、模和特征標 1
1.1 模 1
1.1.1 Hom與End 1
1.1.2 模的定義 1
1.1.3 張量積 3
1.1.4 張量積模 8
1.1.5 向量空間的張量積 10
1.2 代數(shù)上的表示、模及特征標 11
1.2.1 代數(shù) 11
1.2.2 代數(shù)上的模與表示 12
1.2.3 模同態(tài) 14
1.2.4 特征標 15
1.2.5 代數(shù)及其模的張量積 16
1.3 完全可約模和半單代數(shù) 18
1.3.1 不可約模和完全可約模 18
1.3.2 半單代數(shù) 22
1.3.3 群代數(shù) 27
第2章 有限群的特征標理論基礎(chǔ) 29
2.1 定義 29
2.1.1 基本概念 29
2.1.2 例子和應用 35
2.2 特征標的基本性質(zhì) 38
2.2.1 常表示的幾條基本事實 39
2.2.2 一次表示和線性特征標 40
2.2.3 若干說明 43
2.2.4 代數(shù)整數(shù)、類函數(shù)與特征標值 44
2.2.5 正交關(guān)系 46
2.3 特征標的核、中心及次數(shù) 50
2.3.1 特征標的核 50
2.3.2 特征標的中心 51
2.3.3 不可約特征標的次數(shù) 53
2.3.4 例子 55
2.4 誘導特征標 58
2.4.1 一般域上的誘導特征標 58
2.4.2 復數(shù)域上的誘導特征標 63
2.4.3 置換特征標 65
2.4.4 Brauer置換引理 69
2.5 特征標的積 71
2.5.1 模的張量積與特征標的積 71
2.5.2 群直積下的特征標 73
2.5.3 特征標積的性質(zhì) 75
2.5.4 Frobenius-Schur定理 76
2.6 特征標的 Galois共軛與Burnside零值定理 80
2.6.1 特征標的Galois共軛 80
2.6.2 Burnside零值定理.85
2.7 Clifford定理 89
2.7.1 特征標語言的Clifford定理 89
2.7.2 模語言下的Clifford定理 94
2.8 G-不變特征標 99
2.8.1 特征標串的基本性質(zhì) 99
2.8.2 特征標下降定理和特征標提升定理 103
2.8.3 線性特征標的擴充 107
2.9 Frobenius群 109
2.9.1 Frobenius定理.109
2.9.2 Frobenius群的結(jié)構(gòu)性質(zhì) 110
2.9.3 Frobenius群的特征標理論描寫 113
2.9.4 Camina對 117
2.9.5 特征標與群結(jié)構(gòu) 119
第3章 特征標的基本理論續(xù).121
3.1 射影表示 121
3.1.1 射影表示和因子系 121
3.1.2 中心擴張和Schur乘子 124
3.1.3 特征標串環(huán)境下的射影表示和通常表示.132
3.2 特征標的擴充定理 135
3.2.1 同構(gòu)特征標串 135
3.2.2 特征標的擴充 139
3.3 群作用下的特征標與共軛類 142
3.3.1 Glauberman置換引理 143
3.3.2 Glauberman-Isaacs特征標對應.145
3.3.3 群在交換群上的作用 152
3.4 特征標的張量積誘導和圈積的表示 154
3.4.1 特征標的張量積誘導定理 155
3.4.2 圈積的表示 159
3.5 M-群 163
3.5.1 M-群及 M-特征標的基本性質(zhì) 163
3.5.2 可解群與M-群 169
3.6 特征標環(huán)上的 Brauer 定理.170
3.6.1 Brauer定理 171
3.6.2 Brauer定理的應用 175
3.7 域擴張下的群表示和特征標 178
3.7.1 基本事實 178
3.7.2 分裂域 184
3.7.3 不可約表示提升到分裂域時的結(jié)構(gòu)定理.186
3.7.4 p-Brauer特征標的基本概念 190
3.8 本原群 192
3.8.1 半線性群 Γ(qm) 193
3.8.2 可解擬本原線性群 196
3.8.3 本原素因子和本原線性群 200
3.8.4 可解置換群在冪集上的正則軌道存在性.203
3.9 線性群 207
3.9.1 有限域上可解線性群的階 207
3.9.2 Blichfeldt定理 212
3.9.3 復線性群中正規(guī)Sylow子群的存在性 214
3.9.4 復數(shù)域上的本原線性群 216
3.9.5 p-可解線性群 218
第4章 特征標次數(shù).226
4.1 特征標次數(shù)的素因子226
4.1.1 It.-Michler定理 226
4.1.2 Thompson定理 230
4.1.3 非交換單群的不可約特征標 234
4.2 特征標次數(shù)的個數(shù) 236
4.2.1 可解的極小非交換商群 237
4.2.2 |cd(G)|≤4的有限群 240
4.2.3 特征標次數(shù)的個數(shù)與可解群的Fitting高 249
4.2.4 特征標次數(shù)的個數(shù)與可解群的導長 251
4.2.5 特征標次數(shù)的重數(shù) 253
4.3 特征標次數(shù)圖 255
4.3.1 準備工作 256
4.3.2 特征標次數(shù)圖的圖論性質(zhì) 262
4.3.3 Γ(G)不連通的有限群 G 的結(jié)構(gòu) 266
4.3.4 特征標次數(shù)圖不是完全圖的可解群 268
4.3.5 以特征標次數(shù)為頂點的圖 275
4.3.6 特征標次數(shù)圖與共軛類長圖的關(guān)系 276
4.4 ρ-σ問題.281
4.4.1 關(guān)于cd(G)的ρ-σ猜想 281
4.4.2 共軛類長形式的ρ-σ問題 287
4.4.3 素因子在特征標次數(shù)中出現(xiàn)的重數(shù) 288
4.5 *大特征標次數(shù) 290
4.5.1 幾個**結(jié)果 290
4.5.2 大軌道長度 292
4.5.3 |G/Op(G)|p與b(G)的關(guān)系 297
4.5.4 若干注記 302
4.6 平均特征標次數(shù) 303
4.6.1 共軛類個數(shù) 303
4.6.2 平均特征標次數(shù) 304
4.6.3 平均共軛類長 311
4.7 具有給定特征標次數(shù)條件的有限群 316
4.7.1 特征標次數(shù)為連續(xù)整數(shù)的有限群 316
4.7.2 特征標次數(shù)均平方自由的有限群 327
參考文獻 332
索引 338