代數(shù)學教程 第五卷：多項式理論

第一章  一般域上的多項式環(huán)//1
§1  多項式環(huán)//1
1.1  前言·多項式的基本概念  //1
1.2  多項式的相等與運算  //3
1.3  未知量x的代數(shù)解釋  //6
1.4  多項式的次數(shù)和值  //11
§2  一元多項式環(huán)內(nèi)的可除性及其性質(zhì)  //15
2.1  一元多項式的可除性  //15
2.2  剩余除法的顯式表示  //21
2.3  多項式的最大公因式  //26
2.4  分解多項式為不可約因式  //46
§3  多重因式的判定與分離  //54
3.1  多項式的導數(shù)  //54
3.2  多重因式的判定與分離//62
§4  以線性二項式為除式的除法·多項式的根  //67
4.1  多項式的根  //67
4.2  韋達公式  //75
4.3  推值法  //77

第二章  有理數(shù)域上的多項式環(huán)//82
§1  整系數(shù)多項式的性質(zhì)·有理根的計算  //82
1.1  整系數(shù)多項式的性質(zhì)·整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上可約性與在整數(shù)環(huán)上可約性的一致性  //82
1.2  整系數(shù)多項式有理根的特征·有理根的計算  //87
1.3  整系數(shù)多項式不存在有理根的判定  //92
1.4  有理系數(shù)方程式的非有理根  //95
§2  有理數(shù)域上多項式的分解為不可約因子·不可約性判定  //98
2.1  二、三、四次多項式的分解為不可約因子的判定  //98
2.2  一般多項式分解為不可約因子的判定·克羅內(nèi)克法則  //105
2.3  艾森斯坦判別法則//107
2.4  佩龍判別法則  //111
2.5 Brown-Graham判別法則  //113
第三章  實數(shù)域上的多項式環(huán)//118
§1  實數(shù)域上的多項式  //118
1.1  零點定理與洛爾定理  //118
1.2  有實根的實系數(shù)方程式  //124
§2  根的界限與根的定位法  //126
2.1  引言·根的界限  //126
2.2  斯圖姆定理  //138
2.3  斯圖姆定理的幾何解釋  //144
2.4  斯圖姆一塔斯基定理  //149
2.5  關于實根數(shù)的其他定理  //155
§3  多項式的判別系統(tǒng)  //166
3.1  西爾維斯特第二矩陣與斯圖姆一塔斯基序列的關系  //166
3.2  多項式的判別式序列·斯圖姆一塔斯基序列變號數(shù)的計算  //177
3.3  多項式的根的判別系統(tǒng)  //182
§4  方程式的數(shù)字解法  //185
4.1  霍納法  //185
4.2  拉格朗日法  //189
4.3  羅巴契夫斯基法  //196
第四章  復數(shù)域上的多項式環(huán)//206
§1  復數(shù)域上的多項式  //206
1.1  復數(shù)域上任意二次方程式的可解性  //206
1.2  根的存在定理  //208
1.3  代數(shù)基本定理  //213
1.4代數(shù)基本定理的第二個證明//218
§2  魯歇一霍維茨定理  //229
2.1  魯歇一霍維茨多項式  //229
2.2  魯歇一霍維茨定理  //235
§3  復系數(shù)多項式的根的分布以及對系數(shù)的依賴關系  //237
3.1  復系數(shù)多項式的根的分布  //237
3.2  多項式的根對系數(shù)的依賴關系//240
3.3  病態(tài)方程式  //244
第五章  含多個未知量的多項式//248
§1  含多個未知量的多項式  //248
1.1  含多個未知量的多項式的基本概念  //248
1.2  多元多項式各項的字典排法255
1.3  多個未知量的多項式的值  //257
§2  含多個未知量的多項式的可除性理論  //259
2.1  多個未知量的多項式的可除性理論  //259
2.2  多項式的最大公因式//265
2.3  多元多項式可約性的判定  //270
§3  商域  //275
3.1  多項式環(huán)的商域  //275
3.2  商作為函數(shù)  //283
3.3  分解有理分式為簡分式  //286
§4  對稱多項式  //291
4.1  對稱多項式  //291
4.2  對稱多項式的補充注解298
4.3  對稱有理分式  //299
4.4  等次的和·牛頓公式  //300
4.5  對兩組未知量對稱的多項式  //304
4.6  對稱多項式在初等代數(shù)中的應用//305
§5  消去法理論  //312
5.1  結(jié)式  //312
5.2  結(jié)式的行列式表現(xiàn)法與結(jié)式的基本定理  //319
5.3  未知量的消去法  //326
5.4  判別式  //328
5.5  子結(jié)式與公因式  //331
5.6  矩陣的行列式多項式  //340
參考文獻  //346