純數(shù)學(xué)教程

譯者序 / 1
前 言 / 5
第一章 實變量  / 1
（1）有理數(shù)     1
（2）通過線上的點來代表有理數(shù)    2
（3）無理數(shù)    3
（4）無理數(shù)（續(xù)）    6
（5）無理數(shù)（再續(xù)）    7
（6）無理數(shù)（三續(xù)）    9
（7）無理數(shù)（四續(xù)）    10
（8）實數(shù)    11
（9）實數(shù)之間的大小比較    12
（10）實數(shù)的代數(shù)運算    14
（11）實數(shù)的代數(shù)運算（續(xù)）    15
（12）的研究    16
（13）二次方根    17
（14）關(guān)于二次方根的一些定理    18
（15）連續(xù)統(tǒng)    21
（16）連續(xù)實變量    23
（17）實數(shù)的分割    23
（18）極限點    25
（19）魏爾施特拉斯定理    26
   例題集    27
第二章 實變量函數(shù)  / 37
（20）函數(shù)的定義    37
（21）函數(shù)的圖形表示法    40
（22）極坐標(biāo)    41
（23）更多的函數(shù)以及圖形表示的例子    42
（24）B. 有理函數(shù)    44
（25）有理函數(shù)（續(xù)）    46
（26）C. 顯式代數(shù)函數(shù)    47
（27）D. 隱式代數(shù)函數(shù)    48
（28）超越函數(shù)    50
（29）F. 其他種類的超越函數(shù)    53
（30）包含著單一未知數(shù)的方程圖像解法    56
（31）二元函數(shù)以及它們的圖像表示法    57
（32）平面曲線    58
（33）空間中的軌跡    60
   例題集    63
第三章 復(fù) 數(shù)  / 69
（34）直線與平面上的位移    69
（35）位移的相同性、位移的數(shù)乘法    70
（36）位移的加法    71
（37）位移的乘法    74
（38）位移的乘法（續(xù)）    75
（39）復(fù)數(shù)    76
（40）復(fù)數(shù)（續(xù)）    78
（41）方程 i2=-1    79
（42）與 i 相乘的幾何解釋    79
（43）方程 z2  1 = 0，az2  2bz   c = 0    80
（44）阿爾干（Argand）圖    82
（45）棣莫弗定理    83
（46）幾個關(guān)于復(fù)數(shù)的有理函數(shù)定理    85
（47）復(fù)數(shù)的根    97
（48）方程 zn = a 的解    98
（49）棣莫弗定理的一般形式    101
   例題集    101
第四章 正整數(shù)變量對應(yīng)函數(shù)的極限  / 109
（50）正整數(shù)變量的函數(shù)    109
（51）函數(shù)插值    110
（52）有限集和無限集    111
（53）對于大數(shù)值 n 的函數(shù)性質(zhì)    112
（54）對于大數(shù)值 n 的函數(shù)性質(zhì)（續(xù)）    113
（55）“n 趨向于無窮” 的表述    114
（56）當(dāng) n 趨向于無窮時 n 的函數(shù)表現(xiàn)    115
（57）當(dāng) n 趨向于無窮時 n 的函數(shù)表現(xiàn)（續(xù)）    117
（58）極限的定義    117
（59）極限的定義（續(xù)）    119
（60）極限的定義（再續(xù)）    119
（61）關(guān)于定義的幾個基礎(chǔ)要點    120
（62）振蕩函數(shù)    123
（63）關(guān)于極限的一些定理    127
（64）定理 1 的附屬結(jié)果    128
（65）B. 兩個增減趨勢已知的函數(shù)乘積的增減趨勢    129
（66）C. 兩個增減趨勢已知的函數(shù)的差或商的增減趨勢    131
（67）定理 5    132
（68）定理 5（續(xù)）    133
（69）以 n 為變量且與 n 一起遞增的函數(shù)    134
（70）對定理的說明    137
（71）魏爾施特拉斯定理的另一種證明    137
（72）當(dāng) n 趨向于時 xn 隨著 n 變化的極限    138
（73） 的極限    142
（74）一些代數(shù)引理    143
（75） 的極限    145
（76）無窮級數(shù)    146
（77）關(guān)于無窮級數(shù)的一般定理    147
（78）無窮幾何級數(shù)    149
（79）用極限方法來表示連續(xù)實變量    154
（80）有界集合的邊界    157
（81）一個有邊界函數(shù)的邊界    158
（82）一個有邊界函數(shù)的不確定的極限    158
（83）有邊界函數(shù)的一般收斂性原則    161
（84）無邊界函數(shù)    162
（85）復(fù)數(shù)函數(shù)的極限及復(fù)數(shù)項的級數(shù)    163
（86）定理的延伸    164
（87）當(dāng) n →∞時，zn 的極限（z 是復(fù)數(shù)）    166
（88）當(dāng) z 是復(fù)數(shù)時的幾何級數(shù) 1   z   z2   …     166
（89）符號 O，o，~    168
   例題集    169
第五章 一個連續(xù)變量的函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)  / 179
（90）當(dāng) x 趨向于 ∞ 時的極限    179
（91）當(dāng) x 趨向于 -∞ 時的極限    181
（92）第四章第 63—69 課時的結(jié)論對應(yīng)的定理    182
（93）當(dāng) x 趨向于 0 時的極限    182
（94）當(dāng) x 趨向于 a 時的極限    184
（95）遞增或遞減函數(shù)    185
（96）不定元的極限以及收斂原則    185
（97）不定元的極限以及收斂原則（續(xù)）    187
（98）符號 O，o，~：大、小的級別對比    192
（99）一個實變量的連續(xù)函數(shù)    193
（100）一個實變量的連續(xù)函數(shù)（續(xù)）    195
（101）連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)    199
（102）連續(xù)函數(shù)的其余性質(zhì)    201
（103）連續(xù)函數(shù)的取值范圍    202
（104）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的振蕩    204
（105）第 103 課時定理 2 的另一種證明    205
（106）直線上的區(qū)間集，海恩-博萊爾（Heine-Borel）定理    206
（107）連續(xù)函數(shù)的振幅    209
（108）多元的連續(xù)函數(shù)    211
（109）隱函數(shù)    212
（110）反函數(shù)    214
     例題集    216
第六章 導(dǎo)數(shù)與積分  / 221
（111）導(dǎo)數(shù)或微分系數(shù)    221
（112）一些一般性的注解    223
（113）一些一般性的注解（續(xù)）    226
（114）微分法的一些一般法則    227
（115）復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    230
（116）微分學(xué)的記號    230
（117）標(biāo)準(zhǔn)形式    232
（118）B. 有理函數(shù)    235
（119）C. 代數(shù)函數(shù)    236
（120）D. 超越函數(shù)    238
（121）高階導(dǎo)數(shù)    241
（122）關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的一些一般性定理    245
（123）最大值與最小值    247
（124）最大值與最小值（續(xù)）    249
（125）最大值與最小值（再續(xù)）    249
（126）中值定理    257
（127）中值定理（續(xù)）    259
（128）柯西中值定理    259
（129）達（Darboux）定理    260
（130）積分    261
（131）實際的積分問題    262
（132）多項式    264
（133）有理函數(shù)    265
（134）有理函數(shù)的實際積分    268
（135）代數(shù)函數(shù)    269
（136）換元積分法和有理化積分法    269
（137）由圓錐曲線相連的積分    270
（138）積分      271
（139）積分    272
（140）積分     273
（141）分部積分法    273
（142）一般的積分，其中 y2 = ax2   2bx   c    276
（143）超越函數(shù)    280
（144）以 x 的倍數(shù)的正弦與余弦為變量的多項式    280
（145）積分，及相關(guān)的積分    281
（146）cosx 和 sinx 的有理函數(shù)    281
（147）包含 arcsinx，arctan x 和 log x 的積分    283
（148）平面曲線的面積    284
（149）平面曲線的長度    285
     例題集    290
第七章 微分和積分的其他定理  / 303
（150）更高階的中值定理    303
（151）泰勒定理的另一種形式    308
（152）泰勒級數(shù)    310
（153）泰勒定理的應(yīng)用 A. 求最值    312
（154）B. 某些極限的計算    312
（155）C. 平面曲線的相切    315
（156）多變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    320
（157）雙變量函數(shù)微分法    322
（158）雙變量函數(shù)微分法（續(xù)）    325
（159）雙變量函數(shù)的中值定理    326
（160）微分    328
（161）定積分和面積計算    332
（162）定積分    335
（163）圓的扇形面積，三角函數(shù)    336
（164）從定積分作為和的極限來計算定積分    340
（165）定積分的一般性質(zhì)    341
（166）分部積分法和換元積分法    345
（167）利用分部積分法證明泰勒定理    348
（168）余項的柯西形式在二項式中的應(yīng)用    349
（169）定積分的近似公式，辛普森公式    350
（170）實變量復(fù)數(shù)函數(shù)的積分    352
     例題集    353
第八章 無窮級數(shù)與無窮積分的收斂  / 365
（171）前言    365
（172）正項級數(shù)    365
（173）正項級數(shù)（續(xù)）    366
（174）這些判別的第一批應(yīng)用    366
（175）比值判別法    367
（176）德里赫特判別法    371
（177）正項級數(shù)的乘法    371
（178）對于收斂與發(fā)散的額外判別法    373
（179）阿貝爾（或普林斯姆）定理    374
（180）麥克勞林（或柯西）積分判別法    376
（181）級數(shù)    377
（182）柯西并項判別法    379
（183）進一步的比值判別法    380
（184）無窮積分    381
（185）取值為正的情形    383
（186）替換積分法和分部積分法對無限積分的應(yīng)用    386
（187）其他類型的無窮積分    389
（188）其他類型的無窮積分（續(xù)）    391
（189）其他類型的無窮積分（再續(xù)）    395
（190）正負(fù)項的級數(shù)    397
（191）絕對收斂級數(shù)    398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到絕對收斂級數(shù)    400
（193）條件性收斂級數(shù)    400
（194）條件性收斂級數(shù)的收斂判別法    401
（195）交錯級數(shù)    402
（196）阿貝爾收斂判別法和德里赫特收斂判別法    405
（197）復(fù)數(shù)項的級數(shù)    408
（198）冪級數(shù)    409
（199）冪級數(shù)（續(xù)）    410
（200）冪級數(shù)的收斂域、收斂圈    410
（201）冪級數(shù)的唯一性    413
（202）級數(shù)的乘法    413
（203）絕對收斂無限積分和條件收斂無限積分    415
     例題集    417
第九章 實變量的對數(shù)、指數(shù)及三角函數(shù)  / 427
（204）引言    427
（205）log x 的定義    428
（206）log x 滿足的函數(shù)等式    429
（207）log x 隨著 x 趨向于無窮時的情況    431
（208）當(dāng) x →∞ 時 x -α log x → 0的證明    431
（209）當(dāng) x →  0 時 log x 的性狀    432
（210）無窮的尺度， 對數(shù)的尺度    432
（211）數(shù)字 e    435
（212）指數(shù)函數(shù)    436
（213）指數(shù)函數(shù)的一般性質(zhì)    437
（214）一般冪函數(shù) ax    439
（215）ex 作為極限的表示法    440
（216）log x 作為極限的表示法    441
（217）常用的對數(shù)    442
（218）級數(shù)和積分收斂的對數(shù)判別法    449
（219）與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的級數(shù)，用泰勒定理展開ex    454
（220）對數(shù)級數(shù)    457
（221）反正切函數(shù)級數(shù)    459
（222）二項級數(shù)    462
（223）建立指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)理論的另一種方法    464
（224）三角函數(shù)的分析理論    466
（225）三角函數(shù)的解析理論（續(xù)）    469
（226）三角函數(shù)的解析理論（再續(xù)）    471
     例題集    472
第十章 對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的一般理論  / 483
（227）單復(fù)變量的函數(shù)    483
（228）單復(fù)變量的函數(shù)（續(xù)）    484
（229）實數(shù)和復(fù)數(shù)曲線積分    484
（230）的定義    485
（231）Log ζ 的值    486
（232）指數(shù)函數(shù)    491
（233）expζ 的值    492
（234）exp ζ 滿足的函數(shù)方程    492
（235）一般的冪 aζ    493
（236）aζ 的一般值    494
（237）正弦和余弦的指數(shù)值    498
（238）對于所有的 ζ ，sin ζ 和 cos ζ 的定義    498
（239）推廣的雙曲線函數(shù)    499
（240）與，等有關(guān)的公式    500
（241）對數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)之間的聯(lián)系    503
（242） exp z 的冪級數(shù)    505
（243）cos z 和 sin z 的冪級數(shù)    507
（244）對數(shù)級數(shù)    509
（245）對數(shù)級數(shù)（續(xù)）    510
（246）對數(shù)級數(shù)的一些應(yīng)用，指數(shù)極限    513
（247）二項式定理的一般形式    514
     例題集    517

附錄 1 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式  / 527
附錄 2 每一個方程都有一個根的證明  / 533
附錄 3 雙極限問題的注記  / 540
附錄 4 分析和幾何中的無窮  / 543