微分方程數(shù)值方法：有限差分法

目錄
第1章 微分方程簡介 1
1.1 常微分方程簡介 1
1.2 偏微分方程簡介 3
1.3 變分法導(dǎo)出微分方程 4
1.3.1 變分問題 4
1.3.2 變分問題解的必要條件 6
1.4 微分方程的求解方法 11
1.5 小結(jié) 13
1.6 習(xí)題 13
第2章 常微分方程的有限差分法 15
2.1 有限差分的基本概念 15
2.2 常微分方程初值問題的數(shù)值方法 18
2.2.1 歐拉法 18
2.2.2 龍格{庫塔法 20
2.2.3 Crank-Nicolson 法 22
2.2.4 截斷誤差 23
2.2.5 計算例子 25
2.2.6 單步法的收斂性與穩(wěn)定性 26
2.3 常微分方程邊值問題的數(shù)值方法 32
2.3.1 截斷誤差 34
2.3.2 收斂性 34
2.4 微分方程數(shù)值求解方法概述 35
2.5 計算例子 35
2.6 離散常微分邊值問題的緊致差分格式 37
2.6.1 一階導(dǎo)數(shù)的緊致差分格式 38
2.6.2 二階導(dǎo)數(shù)的緊致差分格式 39
2.6.3 高階緊致差分格式的進一步介紹 43
2.7 小結(jié) 45
2.8 習(xí)題 46
第3章 橢圓型方程的有限差分法 48
3.1 有限差分的相關(guān)概念 48
3.2 二維橢圓型方程的有限差分法 52
3.2.1 計算例子 54
3.2.2 截斷誤差 55
3.2.3 收斂性 56
3.3 三維橢圓型方程的有限差分法 56
3.4 變系數(shù)橢圓型方程的有限差分法 58
3.5 極坐標(biāo)形式下的 Poisson 方程的有限差分法 59
3.6 離散 Poisson 方程邊值問題的緊致差分格式 61
3.7 差分方程組的快速求解方法 67
3.7.1 基于 Sine 變換 67
3.7.2 基于 Cosine 變換 72
3.7.3 基于 Fourier 變換 74
3.8 小結(jié) 77
3.9 習(xí)題 78
第4章 拋物型方程的有限差分法 80
4.1 一維拋物型方程初邊值問題的有限差分法 80
4.1.1 幾種常見差分格式 80
4.1.2 計算例子 84
4.2 差分格式的穩(wěn)定性 85
4.2.1 穩(wěn)定性概念 85
4.2.2 判斷穩(wěn)定性的矩陣法 86
4.2.3 用 Fourier 方法判斷差分格式的穩(wěn)定性 88
4.3 二維拋物型方程初邊值問題的有限差分法 93
4.3.1 二維方程的一種顯式差分格式 93
4.3.2 二維方程的一種隱式差分格式 94
4.3.3 二維方程的另一種隱式差分格式 95
4.3.4 二維方程的分數(shù)步長法 95
4.3.5 二維方程的時間分裂法 99
4.3.6 計算例子 101
4.4 三維拋物型方程初邊值問題的有限差分法 103
4.4.1 三維方程的一種顯式差分格式 103
4.4.2 三維方程的一種隱式差分格式 104
4.4.3 三維方程的另一種隱式差分格式 105
4.5 小結(jié) 106
4.6 習(xí)題 106
第5章 雙曲型方程的有限差分法 109
5.1 一階常系數(shù)線性雙曲型方程初邊值問題的差分格式 109
5.1.1 顯式差分格式 109
5.1.2 Fourier 法分析顯式格式的穩(wěn)定性 112
5.1.3 隱式差分格式 114
5.1.4 計算例子 115
5.2 一階常系數(shù)線性雙曲型方程組的差分格式 116
5.3 二維一階雙曲型方程初值問題的差分格式 118
5.3.1 顯式差分格式 118
5.3.2 隱式差分格式 120
5.3.3 計算例子 121
5.4 二階雙曲型方程的差分格式 122
5.4.1 一維波動方程的差分格式 122
5.4.2 計算例子 123
5.4.3 二維波動方程的差分格式 123
5.4.4 計算例子 124
5.5 守恒律方程的差分格式 124
5.6 線性對流方程的半拉格朗日法 128
5.6.1 一維對流方程 128
5.6.2 二維的對流方程 130
5.6.3 三維的對流方程 132
5.6.4 計算例子 134
5.7 小結(jié) 135
5.8 習(xí)題 135
第6章 非線性偏微分方程的有限差分法 138
6.1 非線性橢圓型方程 138
6.2 定態(tài)的 Navier-Stokes 方程 144
6.3 非線性拋物型方程 147
6.4 非線性雙曲型方程 149
6.5 非線性 Burgers 方程 150
6.6 Kuramoto-Sivashinsky 方程 153
6.6.1 二階差分格式 153
6.6.2 二階緊致差分格式 153
6.6.3 四階差分格式 154
6.6.4 四階緊致差分格式 154
6.6.5 另一四階緊致差分格式 154
6.7 非線性薛定諤方程 156
6.8 多步法 160
6.8.1 二步法 160
6.8.2 多步法 161
6.9 氣體動力學(xué)方程組 162
6.10 Navier-Stokes 方程組的速度{旋量形式 164
6.11 Navier-Stokes 方程的流函數(shù){旋量函數(shù)形式 169
6.12 有限差分法在圖像恢復(fù)中的應(yīng)用 172
6.12.1 模型的提出與理論求解 172
6.12.2 彩色圖像修復(fù) 175
6.12.3 模型的數(shù)值求解方法 176
6.12.4 模型的數(shù)值求解結(jié)果與分析 178
6.13 小結(jié) 181
6.14 習(xí)題 181
第7章 總結(jié)與展望 183
參考文獻 185