組合證明的藝術

前 言
第 1 章 斐波那契恒等式 1
1.1 斐波那契數(shù)的組合
解釋 1
1.2 恒等式 2
1.3 有趣的應用 13
1.4 注記 15
1.5 練習 16
第 2 章 廣義斐波那契恒等式
和盧卡斯恒等式 19
2.1 盧卡斯數(shù)的組合解釋 19
2.2 盧卡斯恒等式 21
2.3 廣義斐波那契數(shù) (Gibonacci
數(shù)) 的組合解釋 26
2.4 廣義斐波那契 (Gibonacci)
恒等式 26
2.5 注記 36
2.6 練習 36
第 3 章 線性遞推 38
3.1 線性遞推的組合解釋 38
3.2 二階遞推恒等式 41
3.3 三階遞推恒等式 43
3.4 k 階遞推恒等式 47
3.5 來點實在的! 任意權重與初始
條件 48
3.6 注記 50
3.7 練習 50
第 4 章 連分式 53
4.1 連分式的組合解釋 53
4.2 恒等式 56
4.3 非簡單連分式 62
4.4 再來點實在的 64
4.5 注記 64
4.6 練習 64
第 5 章 二項式恒等式 67
5.1 二項式系數(shù)的組合
解釋 67
5.2 基本恒等式 68
5.3 更多二項式系數(shù)恒
等式 73
5.4 可重復選擇 76
5.5 帕斯卡三角形中的
奇數(shù) 82
5.6 注記 86
5.7 練習 86
第 6 章 正負號交錯的二項式
恒等式 89
6.1 奇偶性討論與容斥
原理 89
6.2 正負號交錯的二項式系數(shù)
恒等式 92
6.3 注記 99
6.4 練習 99
第 7 章 調和數(shù)與斯特林數(shù) 101
7.1 調和數(shù)與排列數(shù) 101
7.2 第一類斯特林數(shù) 103
7.3 調和數(shù)的組合解釋 108
7.4 調和數(shù)恒等式的證明 110
7.5 第二類斯特林數(shù) 115
7.6 注記 119
7.7 練習 119
第 8 章 數(shù)論 122
8.1 算術恒等式 122
8.2 代數(shù)與數(shù)論 128
8.3 重提最大公因數(shù) 132
8.4 盧卡斯定理 134
8.5 注記 137
8.6 練習 138
第 9 章 進階斐波那契和盧卡斯
恒等式 140
9.1 更多斐波那契和盧卡斯
恒等式 140
9.2 著色恒等式 145
9.3 一些 “隨機” 恒等式與
黃金分割 153
9.4 斐波那契和盧卡斯
多項式 158
9.5 負數(shù) 160
9.6 開放問題和瓦伊達
(Vajda) 數(shù)據(jù) 160
章節(jié)練習中部分習題的提示與
解法 164
參考文獻 190