光學(xué)

　　為了區(qū)別于時下被廣泛使用的“經(jīng)典”一詞，本書之稱之為“科學(xué)元典”，本“經(jīng)典”不通于歌迷們所說的經(jīng)典”，也不于表演藝術(shù)家們朗誦的“科學(xué)經(jīng)典名著”。受歌迷歡迎的流行歌曲所說的“經(jīng)典”，實際上是時尚的東西，其含義與我們所說的代表傳統(tǒng)的經(jīng)典恰恰相反。表演藝術(shù)家們朗誦的“科學(xué)經(jīng)典名著”多是表現(xiàn)科學(xué)家們的情感和生活態(tài)度的散文，甚至反映科學(xué)家生活的話劇臺詞，它們可能膾炙人口，是否屬于人文領(lǐng)域里的經(jīng)典姑且不論，但基本上沒有科學(xué)內(nèi)容。并非著名科學(xué)大師的一切言論或者是廣為流傳的作品都是科學(xué)經(jīng)典。這里所謂的科學(xué)元典，是指科學(xué)經(jīng)典中最基本、最重要的著作，是在人類智識史和人類文明史上劃時代的豐碑，是理性精神的載體，具有永恒的價值?？茖W(xué)元典是科學(xué)史和人類文明史上劃時代的豐碑，是人類文化的優(yōu)秀遺產(chǎn)，是歷經(jīng)時間考驗的不朽之作。它們不僅是偉大的科學(xué)創(chuàng)造的結(jié)晶，而且是科學(xué)精神、科學(xué)思想和科學(xué)方法的載體，具有永恒的意義和價值。

　　艾薩克·牛頓簡介艾薩克·牛頓，Physics] newton（儒略歷1642年12月25日-1727年3月20日 格里歷（陽歷）1643年1月4日-1727年3月31日）是英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家，同時他也是一個神學(xué)愛好者，晚年曾著力研究神學(xué)。1643年1月4日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村，1727年3月20日在倫敦病逝?！∨ｎD1661年入英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學(xué)會會長。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)?！∨ｎD在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了微積分和經(jīng)典力學(xué)。艾薩克·牛頓的名言1、如果說我所看的比笛卡爾更遠(yuǎn)一點，那是因為站在巨人肩上的緣故。：牛頓（英國）　2、無知識的熱心，猶如在黑暗中遠(yuǎn)征。：牛頓（英國）　3、你該將名譽作為你最高人格的標(biāo)志。：牛頓（英國）　4、我的成就，當(dāng)歸功于精微的思索。：牛頓（英國）　5、你若想獲得知識，你該下苦功；你若想獲得食物，你該下苦功；你若想得到快樂，你也該下苦功，因為辛苦是獲得一切的定律。：牛頓（英國）　6、聰明人之所以不會成功，是由于他們?nèi)狈皂g的毅力。：牛頓（英國）　7、勝利者往往是從堅持最后五分鐘的時間中得來成功。：牛頓（英國）　8、我不知道世人怎樣看我，但我自己以為我不過像一個在海邊玩耍的孩子，不時為發(fā)現(xiàn)比尋常更為美麗的一塊卵石或一片貝殼而沾沾自喜，至于展現(xiàn)在我面前的浩翰的真理海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。：牛頓（英國）力學(xué)單位，國際單位單位制導(dǎo)出單位牛頓（國際單位），一種衡量受力大小的國際單位。在物理中牛頓（Newton，符號為N）是力的公制單位。它是以發(fā)現(xiàn)經(jīng)典力學(xué)的艾薩克·牛頓（Sir Isaac Newton）命名。牛頓是一個國際單位制導(dǎo)出單位，它是由kg·m·s·2的國際單位制基本單位導(dǎo)出，能使一千克質(zhì)量的物體獲得1米每二次方秒的加速度所需的力的大小定義為1牛頓。牛頓-拉夫遜法牛頓法（Newtons method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。方法使用函數(shù)f（x）的泰勒級數(shù)的前面幾項來尋找方程f（x） = 0的根。牛頓與二項式定理在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項式定理，這對于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。二項式定理把能為直接計算所發(fā)現(xiàn)的　等簡單結(jié)果推廣如下的形式推廣形式二項式級數(shù)展開式是研究級數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發(fā)覺這個方法只適用于ｎ是正整數(shù)，當(dāng)ｎ是正整數(shù)１，２，３，....... ，級數(shù)終止在正好是ｎ＋１項。如果ｎ不是正整數(shù)，級數(shù)就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在一六九四年才引進函數(shù)這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數(shù)時用它們的級來處理是所用方法中最有成效的。創(chuàng)建微積分牛頓在數(shù)學(xué)上最卓越的成就是創(chuàng)建微積分。他超越前人的功績在于，他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法：微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關(guān)系，如：面積計算可以看作求切線的逆過程。那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告，更因此引發(fā)了一場微積分發(fā)明專利權(quán)的爭論，直到萊氏去世才停息。而后世己認(rèn)定微積是他們同時發(fā)明的。微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻(xiàn)是，他不但清楚地看到，而且大膽地運用了代數(shù)所提供的大大優(yōu)越于幾何的方法論。他以代數(shù)方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數(shù)化。從此，數(shù)學(xué)逐漸從感覺的學(xué)科轉(zhuǎn)向思維的學(xué)科。微積產(chǎn)生的初期，由于還沒有建立起鞏固的理論基礎(chǔ)，被有些別有用心者鉆空子。更因此而引發(fā)了著名的第二次數(shù)學(xué)危機。這個問題直到十九世紀(jì)極限理論建立，才得到解決。推進方程論，開拓變分法牛頓在代數(shù)方面也作出了經(jīng)典的貢獻(xiàn)，他的《廣義算術(shù)》大大推動了方程論。他發(fā)現(xiàn)實多項式的虛根必定成雙出現(xiàn)，求多項式根的上界的規(guī)則，他以多項式的系數(shù)表示多項式的根ｎ次冪之和公式，給出實多項式虛根個數(shù)的限制的笛卡兒符號規(guī)則的一個推廣。牛頓在還設(shè)計了求數(shù)值方程的實根近似值的對數(shù)和超越方程都適用的一種方法，該方法的修正，現(xiàn)稱為牛頓方法。牛頓在力學(xué)領(lǐng)域也有偉大的發(fā)現(xiàn)，這是說明物體運動的科學(xué)。第-運動定律是伽利略發(fā)現(xiàn)的。這個定律闡明，如果物體處于靜止或作恒速直線運動，那么只要沒有外力作用，它就仍將保持靜止或繼續(xù)作勻速直線運動。這個定律也稱慣性定律，它描述了力的一種性質(zhì)：力可以使物體由靜止到運動和由運動到靜止，也可以使物體由一種運動形式變化為另一種形式。此被稱為牛頓第一定律。力學(xué)中最重要的問題是物體在類似情況下如何運動。牛頓第二定律解決了這個問題；該定律被看作是古典物理學(xué)中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運動產(chǎn)生變化。它說明速度的時間變化率（即加速度a與力F成正比，而與物體的質(zhì)量里成反比，即a=F/m或F＝ma；力越大，加速度也越大；質(zhì)量越大，加速度就越小。力與加速度都既有量值又有方向。加速度由力引起，方向與力相同；如果有幾個力作用在物體上，就由合力產(chǎn)生加速度，第二定律是最重要的，動力的所有基本方程都可由它通過微積分推導(dǎo)出來。此外，牛頓根據(jù)這兩個定律制定出第三定律。牛頓第三定律指出，兩個物體的相互作用總是大小相等而方向相反。對于兩個直接接觸的物體，這個定律比較易于理解。書本對子桌子向下的壓力等于桌子對書本的向上的托力，即作用力等于反作用力。引力也是如此，飛行中的飛機向上拉地球的力在數(shù)值上等于地球向下拉飛機的力。牛頓運動定律廣泛用于科學(xué)和動力學(xué)問題上。牛頓運動定律牛頓運動定律是伊薩克·牛頓提出了物理學(xué)的三個運動定律的總稱，被譽為是經(jīng)典物理學(xué)的基礎(chǔ)。為“牛頓第一定律（慣性定律：一切物體在不受任何外力的作用下，總保持勻速直線運動狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)，直到有外力迫使它改變這種狀態(tài)為止。：它明確了力和運動的關(guān)系及提出了慣性的概念）”、“牛頓第二定律（物體的加速度跟物體所受的合外力F成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。）公式：F=ma”、“牛頓第三定律（兩個物體之間的作用力和反作用力，在同一條直線上，大小相等，方向相反。）”牛頓法解非線性方程f（x）=0的牛頓（Newton） 法，就是將非線性方程線性化的一種方法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之 一。一 牛頓法的基本思想把非線性函數(shù)f（x）在 處展開成 泰勒級數(shù)f（x）=f（ ）+（x- ）f′（ ）+（x- ） + …取其線性部分，作為非線性方程f（x）=0的近似方程，則有f（ ）+（x- ） f′（ ）=0設(shè)f′（ ）≠0，則其解為x = - （1）再把f（x）在x 處展開為泰勒級數(shù)，取其線性部分為f（x）=0的近似方程，若f′（x ） ≠0，則得x = - 如此繼續(xù)下去，得到牛頓法的迭代公式：x = -  （n=0，1，2，…） （2）例1 用牛頓法求方程f（x）=x +4x -10=0在［1，2］內(nèi)一個實根，取初始近似值x =1.5。 解 f′（x）=3x +8x所以迭代公式為：x = - n=0，1， 2，…其它Apple Newton，由蘋果電腦公司制造的掌上電腦。Newton世界上第一款掌上電腦，由蘋果電腦公司于1993年開始制造，但是因為newton在市場上找不到其定位而需求量低而停止發(fā)展，1997年停止了生產(chǎn)。牛頓的勤奮學(xué)習(xí)一談到近代科學(xué)開創(chuàng)者牛頓，人們可能認(rèn)為他小時候一定是個“神童”、“天才”、有著非凡的智力。其實不然，牛頓童年身體瘦弱，頭腦并不聰明。在家鄉(xiāng)讀書的時候，很不用功，在班里的學(xué)習(xí)成績屬于次等。但他的興趣卻是廣泛的，游戲的本領(lǐng)也比一般兒童高。牛頓愛好制作機械模型一類的玩藝兒，如風(fēng)車、水車、日晷等等。他精心制作的一只水鐘，計時較準(zhǔn)確，得到了人們的贊許。有時，他玩的方法也很奇特。一天，他作了一盞燈籠掛在風(fēng)箏尾巴上。當(dāng)夜幕降臨時，點燃的燈籠借風(fēng)箏上升的力升入空中。發(fā)光的燈籠在空中流動，人們大驚，以為是出現(xiàn)了彗星。盡管如此，因為他學(xué)習(xí)成績不好，還是經(jīng)常受到歧視?！r間對人是一視同仁的，給人以同等的量，但人對時間的利用不同，而所得的知識也大不一樣。　牛頓十六歲時數(shù)學(xué)知識還很膚淺，對高深的數(shù)學(xué)知識甚至可以說是不懂?！爸R在于積累，聰明來自學(xué)習(xí)”。牛頓下決心靠自己的努力攀上數(shù)學(xué)的高峰。在基礎(chǔ)差的不利條件下，牛頓能正確認(rèn)識自己，知難而進。他從基礎(chǔ)知識、基本公式重新學(xué)起，扎扎實實、步步推進。他研究完了歐幾里德幾何學(xué)后，又研究笛卡兒幾何學(xué)，對比之下覺得歐幾里德幾何學(xué)膚淺，便悉心鉆研笛氏幾何學(xué)，直到掌握要領(lǐng)、融會貫通。遂之發(fā)明了代數(shù)二項式定理。傳說中牛頓“大暴風(fēng)中算風(fēng)力”的佳話，可為牛頓身體力學(xué)的佐證。有一天，天刮著大風(fēng)暴。風(fēng)撒野地呼號著，塵土飛揚，迷迷漫漫，使人難以睜眼。牛頓認(rèn)為這是個準(zhǔn)確地研究和計算風(fēng)力的好機會。于是，便拿著用具，獨自在暴風(fēng)中來回奔走。他踉踉蹌蹌、吃力地測量著。幾次沙塵迷了眼睛，幾次風(fēng)吹走了算紙，幾次風(fēng)使他不得不暫停工作，但都沒有動搖他求知的欲望。他一遍又一遍，終于求得了正確的數(shù)據(jù)。他快樂極了，急忙跑回家去，繼續(xù)進行研究?！∮兄菊呤戮钩伞＝?jīng)過勤奮學(xué)習(xí)，牛頓為自己的科學(xué)高塔打下了深厚的基礎(chǔ)。不久，牛頓的數(shù)學(xué)高塔就建成了，二十二歲時發(fā)明了微分學(xué)，二十三歲時發(fā)明了積分學(xué)，為人類科學(xué)事業(yè)作出了巨大貢獻(xiàn)?！∨ｎD是個十分謙虛的人，從不自高自大。曾經(jīng)有人問牛頓：“你獲得成功的秘訣是什么·”牛頓回答說：“假如我有一點微小成就的話，沒有其它秘訣，唯有勤奮而已。”少年牛頓　1643年1月4日，在英格蘭林肯郡小鎮(zhèn)沃爾索浦的一個自耕農(nóng)家庭里，牛頓誕生了。牛頓是一個早產(chǎn)兒，出生時只有三磅重，接生婆和他的親人都擔(dān)心他能否活下來。誰也沒有料到這個看起來微不足道的小東西會成為了一位震古爍今的科學(xué)巨人，并且竟活到了84歲的高齡。牛頓出生前三個月父親便去世了。在他兩歲時，母親改嫁給一個牧師，把牛頓留在外祖母身邊撫養(yǎng)。11歲時，母親的后夫去世，母親帶著和后夫所生的一子二女回到牛頓身邊。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強，這種習(xí)性可能來自它的家庭處境。大約從五歲開始，牛頓被送到公立學(xué)校讀書。少年時的牛頓并不是神童，他資質(zhì)平常，成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型制作方法的讀物，并從中受到啟發(fā)，自己動手制作些奇奇怪怪的小玩意，如風(fēng)車、木鐘、折疊式提燈等等。傳說小牛頓把風(fēng)車的機械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然后在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷的跑動，于是輪子不停的轉(zhuǎn)動；又一次他放風(fēng)箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現(xiàn)；他還制造了一個小水鐘。每天早晨，小水鐘會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家里墻角、窗臺上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。牛頓12歲時進了離家不遠(yuǎn)的格蘭瑟姆中學(xué)。牛頓的母親原希望他成為一個農(nóng)民，但牛頓本人卻無意于此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發(fā)愛好讀書，喜歡沉思，做科學(xué)小實驗。他在格蘭瑟姆中學(xué)讀書時，曾經(jīng)寄宿在一位藥劑師家里，使他受到了化學(xué)試驗的熏陶。牛頓在中學(xué)時代學(xué)習(xí)成績并不出眾，只是愛好讀書，對自然現(xiàn)象由好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學(xué)、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發(fā)明、小試驗。當(dāng)時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家里有兩位都以神父為職業(yè)的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。從這些平凡的環(huán)境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異于常人的兒童。后來迫于生活，母親讓牛頓停學(xué)在家務(wù)農(nóng)，贍養(yǎng)家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經(jīng)常忘了干活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經(jīng)時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢后看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮(zhèn)去，發(fā)現(xiàn)他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鉆研一個數(shù)學(xué)問題。牛頓的好學(xué)精神感動了舅父，于是舅父勸服了母親讓牛頓復(fù)學(xué)，并鼓勵牛頓上大學(xué)讀書。牛頓又重新回到了學(xué)校，如饑似渴地汲取著書本上的營養(yǎng)。據(jù)說有一次，他去郊外游玩，之后靠在一棵蘋果樹下休息，忽然，一個蘋果從樹上掉下來。他覺得很奇怪，為什么蘋果會從上往下掉而不是從下往上升·他帶著這個疑問回到了家里研究，后來他通過論證發(fā)現(xiàn)原來地球是有引力的能把物體吸住。隨后，就出現(xiàn)了《牛頓物理引力學(xué)》。求學(xué)歲月1661年，19歲的牛頓以減費生的身份進入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，靠為學(xué)院做雜務(wù)的收入支付學(xué)費，1664年成為獎學(xué)金獲得者，1665年獲學(xué)士學(xué)位。17世紀(jì)中葉，劍橋大學(xué)的教育制度還滲透著濃厚的中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)的氣味，當(dāng)牛頓進入劍橋時，那里還在傳授一些經(jīng)院式課程，如邏輯、古文、語法、古代史、神學(xué)等等。兩年后三一學(xué)院出現(xiàn)了新氣象，盧卡斯創(chuàng)設(shè)了一個獨辟蹊徑的講座，規(guī)定講授自然科學(xué)知識，如地理、物理、天文和數(shù)學(xué)課程。講座的第一任教授伊薩克·巴羅是個博學(xué)的科學(xué)家。這位學(xué)者獨具慧眼，看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力。于是將自己的數(shù)學(xué)知識，包括計算曲線圖形面積的方法，全部傳授給牛頓，并把牛頓引向了近代自然科學(xué)的研究領(lǐng)域。在這段學(xué)習(xí)過程中，牛頓掌握了算術(shù)、三角，讀了開普勒的《光學(xué)》，笛卡爾的《幾何學(xué)》和《哲學(xué)原理》，伽利略的《兩大世界體系的對話》，胡克的《顯微圖集》，還有皇家學(xué)會的歷史和早期的哲學(xué)學(xué)報等。牛頓在巴羅門下的這段時間，是他學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時期。巴羅比牛頓大12歲，精于數(shù)學(xué)和光學(xué)，他對牛頓的才華極為贊賞，認(rèn)為牛頓的數(shù)學(xué)才華超過自己。后來，牛頓在回憶時說道：“巴羅博士當(dāng)時講授關(guān)于運動學(xué)的課程，也許正是這些課程促使我去研究這方面的問題。”當(dāng)時，牛頓在數(shù)學(xué)上很大程度是依靠自學(xué)。他學(xué)習(xí)了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學(xué)》、沃利斯的《無窮算術(shù)》、巴羅的《數(shù)學(xué)講義》及韋達(dá)等許多數(shù)學(xué)家的著作。其中，對牛頓具有決定性影響的要數(shù)笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無窮算術(shù)》，它們將牛頓迅速引導(dǎo)到當(dāng)時數(shù)學(xué)最前沿～解析幾何與微積分。1664年，牛頓被選為巴羅的助手，第二年，劍橋大學(xué)評議會通過了授予牛頓大學(xué)學(xué)士學(xué)位的決定。1665～1666年嚴(yán)重的鼠疫席卷了倫敦，劍橋離倫敦不遠(yuǎn)，為恐波及，學(xué)校因此而停課，牛頓于1665年6月離校返鄉(xiāng)。由于牛頓在劍橋受到數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的熏陶和培養(yǎng)，對探索自然現(xiàn)象產(chǎn)生濃厚的興趣，家鄉(xiāng)安靜的環(huán)境又使得他的思想展翅飛翔。1665～1666年這段短暫的時光成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月，他在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)思潮奔騰，才華迸發(fā)，思考前人從未思考過的問題，踏進了前人沒有涉及的領(lǐng)域，創(chuàng)建了前所未有的驚人業(yè)績。1665年初，牛頓創(chuàng)立級數(shù)近似法，以及把任意冪的二項式化為一個級數(shù)的規(guī)則；同年11月，創(chuàng)立正流數(shù)法（微分）；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開始研究反流數(shù)法（積分）。這一年內(nèi)，牛頓開始想到研究重力問題，并想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去。他還從開普勒定律中推導(dǎo)出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉(zhuǎn)中心的距離平方成反比。牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，說的也是此時發(fā)生的軼事。總之，在家鄉(xiāng)居住的兩年中，牛頓以比此后任何時候更為旺盛的精力從事科學(xué)創(chuàng)造，并關(guān)心自然哲學(xué)問題。他的三大成就：微積分、萬有引力、光學(xué)分析的思想都是在這時孕育成形的?？梢哉f此時的牛頓已經(jīng)開始著手描繪他一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年復(fù)活節(jié)后不久，牛頓返回到劍橋大學(xué)，10月1日被選為三一學(xué)院的仲院侶（初級院委），翌年3月16日獲得碩士學(xué)位，同時成為正院侶（高級院委）。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數(shù)學(xué)教授，并擔(dān)任盧卡斯講座的教授。巴羅為牛頓的科學(xué)生涯打通了道路，如果沒有牛頓的舅父和巴羅的幫助，牛頓這匹千里馬可能就不會馳騁在科學(xué)的大道上。巴羅讓賢，這在科學(xué)史上一直被傳為佳話。偉大的成就～建立微積分在牛頓的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)成就占有突出的地位。他數(shù)學(xué)生涯中的第一項創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項式定理。據(jù)牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》時，試圖修改他的求圓面積的級數(shù)時發(fā)現(xiàn)這一定理的。笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數(shù)關(guān)系和幾何曲線相對應(yīng)。牛頓在老師巴羅的指導(dǎo)下，在鉆研笛卡爾的解析幾何的基礎(chǔ)上，找到了新的出路?？梢园讶我鈺r刻的速度看是在微小的時間范圍里的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當(dāng)這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的準(zhǔn)確值。這就是微分的概念。求微分相當(dāng)于求時間和路程關(guān)系得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當(dāng)于求時間和速度關(guān)系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發(fā)，建立了微積分。微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。牛頓為解決運動問題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論的，牛頓稱之為"流數(shù)術(shù)"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等，在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法：微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，為近代科學(xué)發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學(xué)上的一個新紀(jì)元。牛頓沒有及時發(fā)表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所采取的表達(dá)形式更加合理，而且關(guān)于微積分的著作出版時間也比牛頓早。在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學(xué)生、支持者和數(shù)學(xué)家中持續(xù)了相當(dāng)長的一段時間，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。應(yīng)該說，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，它必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上各自獨立的建立起來的。1707年，牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版，定名為《普遍算術(shù)》。他主要討論了代數(shù)基礎(chǔ)及其（通過解方程）在解決各類問題中的應(yīng)用。書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數(shù)方程，同時對方程的根及其性質(zhì)進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如：他得出了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù)，即“牛頓冪和公式”。牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻(xiàn)。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓（或稱曲線圓）概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結(jié)成專論《三次曲線枚舉》，于1704年發(fā)表。此外，他的數(shù)學(xué)工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域。