微積分

第一章 數
集合. 實數. 實數的小數表示. 實數的幾何表示. 實數的運算. 不等式. 實數的絕對值. 指數和根. 對數. 實數系的公理化基礎. 點集, 區(qū)間. 可數性. 鄰域. 極限點. 界. 魏爾斯特拉斯—波爾察諾定理. 代數數和超越數. 復數系. 復數的極式. 數學歸納法.
第二章 函數, 極限與連續(xù)
函數. 函數的圖像. 有界函數. 單調函數. 反函數, 主值. 最大值和最小值. 函數類型. 特殊的超越函數. 函數的極限. 右極限和左極限. 極限的定理. 無窮大, 特殊極限. 連續(xù). 右連續(xù)和左連續(xù). 區(qū)間上的連續(xù)性. 連續(xù)性定理. 分段連續(xù). 一致連續(xù).
第三章 序列
序列的定義. 序列的極限. 序列極限的定理. 無窮大. 有界序列, 單調序列. 序列的上確界和下確界. 上極限, 下極限. 區(qū)間套. 柯西收斂準則. 無窮級數.
第四章 導數
導數的定義. 右導數和左導數. 區(qū)間上的可導性. 分段可導性. 導數的幾何意義. 微分. 求導法則. 特殊函數的導數. 高階導數. 中值定理. 特殊展開式. 洛必達法則. 應用.
第五章 積分
定積分的定義. 零測度. 定積分的性質. 積分中值定理. 不定積分. 積分運算的基本定理. 變限定積分. 積分變量的變換. 特殊函數的積分. 積分法. 廣義積分. 計算定積分的數值方法. 應用.
第六章 偏導數
二元及多元函數. 因變量和自變量, 函數的定義域. 空間直角坐標系. 鄰域. 區(qū)域. 極限. 累次極限. 連續(xù)性. 一致連續(xù)性. 偏導數. 高階偏導數. 微分. 有關微分的定理. 復合函數的求導法則. 齊次函數的歐拉定理. 隱函數. 雅可比式. 使用雅可比式的偏導數. 有關雅可比式的定理. 變換. 曲線坐標. 中值定理.
第七章 向量
向量與純量. 向量代數. 向量代數定律. 單位向量. 基本單位向量. 向量的分量. 點積或純量積. 叉積或向量積. 三重積. 向量分析的公理化方法. 向量函數. 向量函數的極限, 連續(xù)與導數. 向量導數的幾何解釋. 梯度, 散度和旋度. 有 關的公式. 雅可比式的向量解釋, 正交曲線坐標. 正交曲線坐標中的梯度, 散度, 旋度和拉普拉斯算符. 特殊曲線坐標.
第八章 偏導數的應用
幾何應用. 方向導數. 積分號下的微分法. 積分號下的積分法. 極大和極小. 求極大值和極小值的拉格朗日乘子法. 在誤差中的應用.
第九章 重積分
二重積分. 累次積分. 三重積分. 重積分的變換.
第十章 曲線積分, 曲面積分和積分定理
曲線積分. 線積分的向量表示. 曲線積分的計算. 曲線積分性質. 簡單閉曲線, 單連通和多連通區(qū)域. 平面格林定理. 曲線積分與路徑無關的條件. 曲面積分. 散度定理. 斯托克斯定理.
第十一章 無窮級數
無窮級數的收斂與發(fā)散. 無窮級數的基本性質. 特殊級數. 幾何級數. p級數. 常數項級數斂散性判別. 比較判別法. 商判別法. 積分判別法. 交錯級數判別法. 絕對收斂與條件收斂. 比值判別法. n次根式判別法. 拉阿伯判別法. 高斯判別法. 絕對收斂級數定理. 無窮序列和函數項級數, 一致收斂. 級數一致收斂的特殊判別法. 魏爾斯特拉斯M判別法. 狄利克雷判別法. 級數一致收斂的定理. 冪級數. 關于冪級數的定理. 冪級數運算. 函數展開成冪級數. 一些重要的冪級數. 特殊課題. 用級數定義函數. 貝塞爾函數和超幾何函數. 復數項無窮級數. 含兩個或更多變量的函數項無窮級數. 二重級數. 無窮乘積. 可求和性. 漸近級數.
第十二章 廣義積分
廣義積分的定義. 第一類廣義積分. 第一類特殊廣義積分. 幾何或指數積分. 第一類p積分. 第一類廣義積分收斂判別法. 比較判別法. 商判別法. 級數判別法. 絕對收斂和條件收斂. 第二類廣義積分. 柯西主值. 第二類特殊廣義積分, 第二類廣義積分收斂性判別. 第三類廣義積分. 帶參數的廣義積分, 一致收斂. 積分一致收斂的特殊判別法. 魏爾斯特拉斯M判別法. 狄利克雷判別法. 積分一致收斂定理. 定積分計算. 拉普拉斯變換. 廣義重積分.
第十三章
函數和B函數
函數. 函數的圖形和數值表.
n 的漸近公式. 關于 函數的幾個結果. B函數. 狄利克雷積分.
第十四章 傅里葉級數
周期函數. 傅里葉級數. 狄利克雷條件. 奇函數和偶函數. 半幅傅里葉正弦或余弦級數. 帕塞瓦爾等式. 傅里葉級數的微分和積分. 傅里葉級數的復數表達式. 邊界值問題. 正交函數.
第十五章 傅里葉積分
傅里葉積分. 傅里葉積分定理的等價形式. 傅里葉變換. 傅里葉積分中的帕塞瓦爾等式. 卷積定理.
第十六章 橢圓積分
第一類不完全橢圓積分, 第二類不完全橢圓積分. 第三類不完全橢圓積分. 關于橢圓積分的雅可比形式. 可化為橢圓型的積分. 雅可比橢圓函數. Landen變換.
第十七章 復變函數
函數. 極限和連續(xù)性. 導數. 柯西—黎曼方程. 積分. 柯西定理. 柯西積分公式. 泰勒級數. 奇點. 極點. 洛朗級數. 留數. 留數定理. 定積分的計算.
補充習題答案